Setelah hampir seabad berusaha dipecahkan oleh para matematikawan, Grigori Perelman membuat sketsa bukti konjektur dalam serangkaian makalah pada tahun 2002 dan 2003. Bukti mengikuti program Richard Hamilton. Beberapa tim profil tinggi matematikawan telah sejak memverifikasi kebenaran bukti Perelman.
Konjektur Poincaré, sebelum terbukti, adalah salah satu yang paling penting pertanyaan terbuka di topologi. Ini adalah salah satu dari tujuh Millenium Prize Problems, yang membuat Institut Matematika Clay menawarkan hadiah $ 1.000.000 untuk mereka pertama kali berhasil memberikan solusi yang tepat. Karya Perelman berhasil meninjau konjektur itu dan telah dikonfirmasi pada tahun 2006, membuatnya ditawari Medali Fields, yang ia tolak. Perelman dianugerahi Hadiah Milenium pada 18 Maret, 2010. Konjektur Poincaré adalah yang pertama dipecahkan dalam Masalah Milenium.
Pada awal abad ke-20, Henri Poincaré sedang bekerja di dasar topologi-apa yang kemudian disebut kombinatorial topologi dan kemudian aljabar topologi. Ia sangat tertarik pada apa sifat-sifat topologi yang dicirikan sebuah bola.
Poincaré mengklaim pada 1900 bahwa homologi, alat ciptaannya didasarkan pada karya Enrico Betti, sudah cukup untuk mengetahui apakah sebuah 3-manifold adalah seorang 3-bola. Namun, dalam kertas 1904 ia menggambarkan balik terhadap klaim ini, sebuah ruang yang kini disebut bola homologi Poincaré. Bola Homologi Poincaré merupakan contoh pertama dari sebuah homologi bola, sebuah manifold yang memiliki homologi sama sebagai sebuah bola, yang telah dibangun banyak orang lain. Untuk menetapkan bahwa lingkup Poincaré berbeda dari 3-bola, memperkenalkan Poincaré baru invarian topologi, yang fundamental, dan menunjukkan bahwa bola Poincaré memiliki fundamental keteraturan 120, sedangkan 3-bola memiliki fundamental insignifikan. Dengan cara ini ia dapat menyimpulkan bahwa kedua ruang itu, memang, berbeda.
Di paper yang sama, Poincaré membandingkan 3-manifold dengan homologi dari 3-bola dan juga kelompok fundamental insignifikan harus menjadi 3-bola. Poincaré kondisi baru-yakni, "fundamental insignifikan"-dapat diungkapkan kembali sebagai "setiap loop dapat menyusut ke titik."
Ungkapan asli adalah sebagai berikut:
Pertimbangkan yang kompak 3-dimensi manifold V tanpa batas. Apakah mungkin bahwa kelompok fundamental V dapat insignifikan, meskipun V tidak homeomorphic ke bola 3-dimensi?
Poincaré tidak pernah menyatakan apakah ia percaya kondisi tambahan ini akan ciri 3-bola, tapi tetap saja, pernyataan bahwa hal itu dikenal sebagai konjektur Poincaré. Berikut adalah bentuk standar dari konjektur:
Setiap hanya tersambung, tertutup 3 - manifold adalah homeomorphic ke 3-bola.
Masalah ini tampaknya sudah dormant untuk sementara waktu, sampai Whitehead JHC menghidupkan kembali minat terhadap konjektur, ketika pada tahun 1930 ia pertama kali menyatakan bukti, dan kemudian ditarik. Dalam proses, ia menemukan beberapa contoh menarik hanya terhubung non-compact 3-manifold tidak homeomorphic untuk R 3, prototipe dari yang sekarang disebut Whitehead manifold.
Pada tahun 1950-an dan 1960-an, matematikawan lain mengklaim hanya untuk menemukan sebuah cacat. Matematikawan berpengaruh seperti Bing, Haken, Moise, dan Papakyriakopoulos menyerang konjektur. Bing terbukti di tahun 1958 versi yang lemah dari konjektur Poincaré: jika setiap kurva tertutup sederhana yang kompak 3-manifold terkandung dalam 3-bola, maka manifold adalah homeomorphic ke 3-bola. Bing juga menjelaskan beberapa perangkap dalam mencoba membuktikan konjektur Poincaré.
Sejalan dengan waktu, konjektur memperoleh reputasi sebagai hal yang sangat sulit untuk ditangani. John Milnor berkomentar bahwa kadang-kadang kesalahan dalam bukti-bukti palsu dapat "lebih halus dan sulit untuk dideteksi." Bekerja pada peningkatan pemahaman konjektur 3-manifold. Pakar di bidang ini sering enggan untuk mengumumkan bukti-bukti, dan cenderung untuk melihat pengumuman tersebut dengan sikap skeptis. Pada 1980-an dan 1990-an ada beberapa publikasi yang terbukti keliru saat memecahkan masalah ini (yang tidak benar-benar dipublikasikan, dalam bentuk peer-review).
Sebuah eksposisi upaya untuk membuktikan konjektur ini dapat ditemukan dalam buku non-teknis
Klasifikasi Permukaan Tertutup memberikan jawaban afirmatif untuk pertanyaan analogi dalam dua dimensi. Untuk dimensi lebih dari tiga, seseorang dapat mengajukan Generalized konjektur Poincaré: adalah homotopy bola n-homeomorphic ke n-bola? Asumsi yang lebih kuat diperlukan; dalam dimensi empat dan lebih tinggi ada-terhubung hanya manifold yang tidak homeomorphic ke n-bola.
Secara historis, sementara konjektur dalam tiga dimensi kelihatan masuk akal, konjektur yang umum dianggap palsu. Pada tahun 1961 Stephen Smale mengejutkan para matematikawan karena membuktikan konjektur Poincaré Generalized untuk dimensi lebih besar dari empat dan melebarkan teknik untuk membuktikan fundamental cobordism h-teorema. Pada tahun 1982 Michael Freedman membuktikan konjektur Poincaré dalam dimensi empat. Karya Freedman dibiarkan terbuka terhadap kemungkinan bahwa ada empat-manifold mulus homeomorphic ke empat-bola yang tidak diffeomorphic ke empat-bola. Ini yang disebut konjektur Poincare halus, dalam dimensi empat, tetap terbuka dan dianggap sangat sulit. Bola eksotis Milnor menunjukkan bahwa konjektur Poincare yang halus adalah salah dalam tujuh dimensi, misalnya.
Keberhasilan awal ini dalam dimensi yang lebih tinggi meninggalkan kasus tiga dimensi dalam limbo. Konjektur Poincaré pada dasarnya benar dalam kedua dimensi empat dan semua dimensi yang lebih tinggi untuk alasan yang berbeda secara substansial. Dalam dimensi tiga, yang konjektur memiliki reputasi yang tidak pasti sampai konjektur geometrization memasukkannya ke dalam sebuah kerangka kerja yang mengatur semua 3-manifold. John Morgan
Ini adalah pandangan saya bahwa sebelum Thurston 's bekerja di hiperbolik 3-manifold dan. . . Geometrization konjektur yang tidak ada konsensus di antara para ahli mengenai apakah konjektur Poincaré itu benar atau salah. Setelah Thurston karya, meskipun fakta bahwa hal itu tidak langsung berpengaruh pada konjektur Poincaré, sebuah konsensus dikembangkan bahwa konjektur Poincaré (dan Geometrization konjektur) itu benar.
Program Hamilton ini dimulai di kertas 1982 di mana ia memperkenalkan aliran Ricci pada manifold dan menunjukkan cara menggunakannya untuk membuktikan beberapa kasus khusus pada konjektur Poincaré. [11] Pada tahun-tahun berikutnya ia memperluas karya ini, namun tidak mampu membuktikan konjektur. Solusi yang sebenarnya tidak ditemukan sampai Grigori Perelman menerbitkan surat menggunakan ide dari kerja Hamilton.
Pada akhir tahun 2002 dan 2003 Perelman menyampaikan tiga makalah di arXiv. Dalam makalah ini, ia membuat sketsa bukti konjektur Poincaré dan konjektur yang lebih umum, Thurston's geometrization konjektur, menyelesaikan program aliran Ricci diuraikan sebelumnya oleh Richard Hamilton.
Dari Mei hingga Juli 2006, beberapa kelompok dipresentasikan dalam makalah yang memenuhi rincian Perelman bukti dari konjektur Poincaré, sebagai berikut:
Bruce Kleiner dan John W. Lott posted sebuah makalah tentang arXiv Mei 2006 yang mengisi rincian Perelman's bukti dari geometrization konjektur.
Huai-Dong Cao dan Ping Zhu Xi-makalah yang diterbitkan dalam edisi Juni 2006 Asian Journal of Mathematics memberikan bukti lengkap dan geometrization Poincaré konjektur, di mana mereka digunakan beberapa karya sebelumnya oleh Kleiner dan Lott.
John Morgan dan Gang Tian posted sebuah makalah tentang arXiv pada bulan Juli 2006 yang memberikan bukti rinci hanya Poincaré Conjecture (yang agak lebih mudah daripada geometrization penuh konjektur) [17] dan diperluas untuk buku ini.
Semua tiga kelompok menemukan bahwa kesenjangan dalam surat-surat Perelman yang kecil dan bisa diisi dengan menggunakan teknik-teknik sendiri.
Pada tanggal 22 Agustus 2006, MKI Perelman yang dianugerahi Medali Fields untuk karyanya pada konjektur, tetapi Perelman menolak medali. [19] [20] [21] John Morgan berbicara di MKI pada konjektur Poincaré pada 24 Agustus 2006 , menyatakan bahwa "pada tahun 2003, Perelman memecahkan Poincaré Conjecture."
Pada Desember 2006 Sains majalah menghormati Poincaré bukti konjektur sebagai Breakthrough of the Year dan menampilkan itu di sampulnya. [3]
Program Hamilton untuk membuktikan konjektur Poincaré meletakkan pertama melibatkan metrik Riemann pada hanya diketahui terhubung tertutup 3-manifold. Idenya adalah mencoba untuk memperbaiki metrik ini, misalnya, jika metrik cukup dapat ditingkatkan sehingga memiliki kelengkungan konstan, maka itu harus menjadi 3-bola. Metrik meningkat menggunakan aliran Ricci persamaan;
di mana g adalah metrik dan R yang Ricci kelengkungan, dan satu harapan bahwa sebagai waktu t meningkatkan manifold menjadi lebih mudah untuk dipahami. Memperluas aliran Ricci kelengkungan negatif bagian dari kontrak manifold dan bagian kelengkungan positif.
Dalam beberapa kasus Hamilton mampu menunjukkan bahwa karya ini, misalnya, jika manifold memiliki kelengkungan Ricci positif di mana-mana ia menunjukkan bahwa manifold menjadi punah dalam waktu yang terbatas di bawah Ricci mengalir tanpa singularitas lainnya. (Dengan kata lain, para manifold runtuh pada suatu titik waktu tertentu, melainkan mudah untuk menggambarkan struktur sebelum runtuh manifold.) Ini menyiratkan mudah konjektur Poincaré dalam kasus kelengkungan Ricci positif. Namun secara umum persamaan aliran Ricci menyebabkan singularitas dari metrik setelah waktu tertentu. Perelman menunjukkan bagaimana untuk melanjutkan masa lalu singularitas ini: sangat kasar, ia memotong manifold sepanjang singularitas, membelah manifold menjadi beberapa bagian, dan kemudian melanjutkan dengan aliran Ricci pada masing-masing bagian. Prosedur ini dikenal sebagai aliran Ricci dengan operasi.
Kasus khusus Perelman's teorema tentang aliran Ricci dengan operasi diberikan sebagai berikut.
Mengalir bersama yang Ricci operasi tertutup manifold berorientasi 3-baik yang ditetapkan untuk sepanjang masa. Jika fundamental merupakan produk gratis dari kelompok yang terbatas dan grup siklik kemudian mengalir dengan operasi Ricci menjadi punah dalam waktu terbatas, dan setiap saat semua komponen dari berbagai tersambung jumlah S 2 bundel lebih dari S 1 dan quotients dari S 3 .
Hasil ini menyiratkan konjektur Poincaré karena mudah untuk memeriksa untuk manifold yang mungkin tercantum dalam kesimpulan.
Kondisi pada kelompok fundamental ternyata diperlukan (dan cukup) untuk waktu yang terbatas kepunahan, dan khususnya mencakup hal fundamental insignifikan. Hal ini setara dengan mengatakan bahwa perdana dekomposisi dari berbagai tidak memiliki komponen asiklis, dan ternyata setara dengan syarat bahwa semua potongan geometris dari berbagai telah geometri berdasarkan dua geometri Thurston × R S 2 dan S 3. Dengan mempelajari batas manifold untuk waktu yang besar, Perelman membuktikan konjektur Thurston's geometrization mendasar untuk setiap kelompok: pada umumnya kali manifold memiliki dekomposisi tebal-tipis, potong tebal yang memiliki struktur hiperbolik, dan bagian yang tipis adalah grafik manifold, tetapi komplikasi tambahan ini tidak perlu untuk membuktikan hanya konjektur Poincaré.
